Hitunglah \( \displaystyle \int_0^\pi \int_0^x \ x \sin y \ dy \ dx \).
Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pengintegralan, kita peroleh:
\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^x x \sin y \ dy \ dx &= \int_0^\pi [-x \cos y]_0^x \ dx \\[8pt] &= \int_0^\pi (-x \cos x + x) \ dx \\[8pt] &= \left[ -x \sin x - \cos x + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^\pi \\[8pt] &= (-\pi \sin \pi-\cos \pi+\frac{1}{2}\pi^2)-(0-1+0) \\[8pt] &= (-\pi \cdot 0 - (-1)+ \frac{1}{2}\pi^2)+1 \\[8pt] &= \frac{1}{2}\pi^2 + 2 \end{aligned}
Catatan: untuk menyelesaikan integral \( \int \ x \cos x \ dx \), kita bisa gunakan teknik integral parsial.